题目：已知函数
(1) 讨论 的单调性；
(2) 设 为两个不相等的正数，且 ，证明

这道导数题的话，嗯，显然属于极值点偏移问题。但遗憾的是，高中教材似乎无此概念。于是，我们抛开“极值点偏移”这个概念再来审视此题。看看能否有新的收货：

第一问·讨论单调性

故有：

• 当 ， ， 单调递增
• 当 ， ，​ 单调递减

第二问·证明不等式

先设法将条件方程相同变量的式子挪至一侧

由题 等式两侧同时除以 ab

不妨令 ​ ，则有：

所求证

结合函数 ​ 在 ​ 单增，​ 单减，则必有 ​ 一个在 ​ 上，另一个在 ​ 上。

为更精确地锁定 ​ 范围，先大致画出 ​ 图像：

这里涉及一些极限知识，不难，暂且不细说。

因此，不妨令 ​

接下来又该如何证明呢？容易想到的是：我们要设法用上(1)式。于是，我们这样变形所证：

这样看来，所要证明的两个不等式：

都落在了 ​ 上，也就是函数 ​ 的减区间上。

于是我们想到：证明自变量的不等关系可以转化成证明函数值的不等关系，即——

证明：

再加上： ​ ，上面的函数不等式就转化成：

然后呢？

然后本题就成功的转化成证明：

了！接下来谁再说不会，是不是该回去补补最基础的证明函数不等式了？

<完>